存在真类不动点：\{\alpha\mid j(\alpha)=\alpha\} 是真类？

对任意 \alpha＜\kappa，j(\alpha)=\alpha；j(\kappa)＞\kappa，j(j(\kappa))＞j(\kappa)，…

3. 反射原理（极强）：对任意公式 \phi，V_\kappa\prec V（V_\kappa 是 V 的初等子模型）。

对任意 A?V_\kappa，(V_\kappa,A)\prec(V,A)。 蕴含无穷多更低层大基数：\kappa 下有真类可测、超紧、可扩张等基数。

四、莱因哈特基数的变体（强度递增）：1. 弱莱因哈特基数（Weakly Reinhardt），定义：crit(j)=κ，j:V→M，M 传递，且 P(P(\alpha))?M（对所有序数 \alpha）。

强度：弱于标准莱因哈特，但仍极强；与ZFC是否一致未知 。

2. 超莱因哈特基数（Super Reinhardt），定义：对任意序数 \lambda，存在 j:V→V，crit(j)=κ 且 j(\kappa)＞\lambda。

直观：j(\kappa) 可“任意大”，远超普通莱因哈特。

3. A-超莱因哈特基数，对类 A，要求 j^+(A)=A（j 保持 A 不变），是超莱因哈特的精细化。

4. 全莱因哈特基数（Totally Reinhardt），定义：对所有 A∈V_{\kappa+1}，(V_\kappa,V_{\kappa+1})\models\text{ZF}_2 + \text{存在}A\text{-超莱因哈特基数}。地位：沃彭卡原理层级的终点，是目前已知最强的大基数之一。

五、一致性强度排序（从低到高）：可测 → 强紧 → 超紧 → 可扩张 → 巨大 → 莱因哈特 → 超莱因哈特 → 全莱因哈特 → 伯克利基数（更强）。

莱因哈特远强于所有“可在ZFC中相容”的大基数（如超紧、巨大），伯克利基数强于莱因哈特，同样与AC不相容。乐文趣书屋

六、哲学与研究意义：1. 无选择公理的集合论：莱因哈特是ZF+?AC的核心大基数，推动无AC大基数理论发展。

2. 内模型问题：能否构造容纳莱因哈特的典范内模型（如L的推广）？是集合论核心难题。

3. 一致性强度标尺：莱因哈特是最强一致性强度标尺之一，用于衡量其他强公理（如AD?、决定性公理）。

4. 宇宙的自相似性：j:V→V 表达全宇宙的自相似性，是对“集合宇宙均匀性”的终极刻画。

七、开放问题（核心未解）：1. ZF(j)是否一致？：无AC时，莱因哈特是否导致矛盾？至今未知（最核心开放问题）。